求函数f(x)=2x+√(x^2-4)的最大值

解:x^2-4≥0,得x≥2,或x≤-2
y=x/2+[√(x^2-4)]/4
y-x/2=[√(x^2-4)]/4
两边平方整理得:
3x^2-16xy+16y^2+4=0
设g(x)=3x^2-16xy+16y^2+4=3(x-8y/3)^2+4-16y^2/3
函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)
当8y/3≤-2,即y≤-3/4时
要使得函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)
只要满足g(8y/3)≤0,即4-16y^2/3≤0,得y≤-√3/2,或y≥√3/2
因为y≤-3/4,所以y≤-√3/2

当-2<8y/3≤2,即-3/4<y≤3/4时
要使得函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)
只要满足f(-2)≤0,f(2)≤0,
即12+32y+16y^2+4≤0,得y=-1,矛盾.
12-32y+16y+4≤0,得y=1,矛盾

当8y/3>2,即x>3/4时
要使得函数g(x)与x轴交点的位置在(-∞,-2]∪[2,+∞)
只要满足g(8y/3)≤0,即4-16y^2/3≤0,得y≤-√3/2,或y≥√3/2
因为y>3/4,所以y≥√3/2

所以f(x)当x∈(-∞,-2]有最大值为-√3/2
当x∈[2,+∞)有最小值√3/2

楼下的算的都是极大值 哪来最大值 这个有最大值么？？

这是个典型的单调增函数,所以没有最大值

f(x)=2x+√(x^2-4)
x^2-4>=0
x>=2,或者x<=-2
f(x)'=2+x/根号(x^2-4)
令f(x)'=0
x/根号(x^2-4)=-2
x=+/-4根号3/3
经检验,得到当x=4根号3/3,
f(x)有最大值是:10根号3/3